学科：数学

年级：初三

一. 选择题：（本题40分，每小题4分）

    在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母填在题后的括号内。

  1. －6的绝对值是（    ）

    A. －6    B. 6    C. －    D.

  2. 9的平方根是（    ）

    A. 3    B. －3    C. ±3     D. 81

  3. 有下面命题：

    (1)直角三角形的两个锐角互余；

    (2)钝角三角形的两个内角互补；

    (3)正方形的两条对角线相等；

    (4)菱形的两条对角线互相垂直。

    其中，正确的命题有（    ）

    A. 1个       B. 2个       C. 3个       D. 4个

  4. 如图，DE是DABC的中位线，则DADE与DABC面积的比是（    ）

    A. 1：1         B. 1：2         C. 1：3          D. 1：4

  5. 用科学记数法表示0.00032，正确的是（    ）

    A.      B.       C.       D.

  6. 计算，结果正确的是（    ）

    A.      B.     C.     D.

  7. 在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

    A. 等腰三角形    B. 圆    C. 梯形      D. 平行四边形

  8. 在函数中，自变量x的取值范围是（    ）

    A. x>1    B. x³1    C. x<1     D. x£1

  9. 对于正比例函数，当x增大时，y随x增大而增大，则m的取值范围是（    ）

    A. m<0    B. m£0    C. m>0    D. m³0

  10. 已知两个圆只有一条公切线，那么这两个圆的位置关系是（    ）

    A. 内切    B. 外切    C. 相交    D. 外离

二. 填空题：（本题15分，每小题3分）

  11. 点P（4，3）关于原点的对称点P’的坐标是____________。

  12. 若，则锐角a=_________度。

  13. 某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对20名学生每天完成作业作用时间进行了抽查，这个问题中的样本容量是___________。

  14. 若正多边形的内角和是540°，那么这个多边形一定是正______________边形。

  15. 若一个圆锥的母线长是5cm，底面半径是3cm，则它的侧面展开图的面积是_____。

三. （本题26分，经16、17小题各6分，第18、19小题各7分）

  16. 分解因式：

    解：

  17. 计算：

    解：

  18. 先化简，再求值：

   

    解：

  19. 解不等式组，并在给定的数轴上表示出解集。

    解：

 

四. （本题12分，每小题6分）

  20. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF=EC。

    求证：DE=BF。

    证明：

  21. 已知：如图，在DABC中，ÐC=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E。若ÐA=30°，DE=2，求ÐDBC的度数和CD的长。

    解：

 

五. （本题12分，每小题6分）

  22. 用换元法解方程。

    解：

  23. 列方程或方程组解应用题：

    甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成。若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需要多少天。

    解：

六. （本题12分，每小题6分）

  24. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为－4，求这两个函数的解析式。

    解：

  25. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=7，P是BC边上与B点不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线于R，交AD于Q（Q与D不重合），且ÐRPC=45°。设BP=x，梯形ABPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求出自变量x的取值范围。

    解：

七. （本题6分）

  26. 已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD^AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E。

    求证：。

    证明：

八. （本题7分）

  27. 已知关于x的方程(1)只有整数根，且关于y的一元二次方程(2)有两个实数根。

    (1)当k为整数时，确定k的值；

    (2)在(1)的条件下，若m>－2，用关于m的代数式表示。

    解：

九. （本题9分）

  28. 如图，在RtDABC中，ÐABC=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D。若E是DF的中点，且AE：EF=3：1，FC=4，求ÐCBF的正弦值及BC的长。

    解：

十. （本题11分）

  29. 已知二次函数，它的图象与x轴只有一个交点，交点为A，与y轴交于点B，且AB=2。

    (1)求二次函数解析式；

    (2)当b<0时，过A的直线y=x＋m与二次函数的图象交于点C，在线段BC上依次取D、E两点，若，试确定ÐDAE的度数，并简述求解过程。

    解：

【试题答案】

一.

  1. B    2. C    3. C    4. D    5. A    6. B    7. B    8. A    9. C    10. A

二.

  11. （－4，－3）    12. 60    13. 20    14. 五    15. 15p

三.

  16. 分解因式：

    解：

   

  17. 计算

    解：

   

  18. 先化简，再求值：

   

    解：

   

  19. 解不等式组并在给定的数轴上表示出解集。

    解：解不等式(1)，得x<1                                2分

    解不等式(2)，得x>－2                                4分

    所以不等式组的解集为

    －2<x<1                                             6分

                7分

四.

  20.

    证明：如图

    ∵在平行四边形ABCD中，

            DC=BA，DC∥AB               1分

    ∴∠DCE=∠BAF                        2分

      在DDCE与DBAF中

   

    ∴DDCE≌DBAF                               5分

    ∴DE=BF                                       6分

  21. 解：如图

    ÐC=90°，ÐA=30°，DE=2

    ÐCBA=60°                     1分

    ∵DE垂直平分AB

   

    ÐDBE=ÐA=30°                 3分

    ÐCBD=ÐCBA－ÐDBA=30°       4分

    ÐCBD=ÐDBE

    DC=DE=2                                           6分

五.

  22. 解：设

   

    解得                                  2分

   

    根据算术平方根的意义，无解              3分

    当y=3时，

    解得                                  5分

    经检验x=－9，x=1都是原方程的根

    原方程的根是x=－9，x=1。                         6分

  23.

    解：设甲组单独完成此项工程需要x天，则乙组单独完成此顶工程需要（x＋2）天。

    依题意，得

                                              3分

    整理得   

    解得                                              4分

    经检验x=10，x=－1都是原方程的根，但x=－1不合题意，舍去        5分

    当x=10时，x＋2=12

    答：单独完成此项工程甲组需要10天，乙组需要12天。                 6分

六.

  24.

    解：依题意，由两个函数解析式得

                                                         2分

    解得                                                4分

    一次函数和反比例函数的解析式分别为             6分

  25.

    解：如图

    矩形ABCD中

    AD=BC=7，AB=DC=4，ÐC=90°

    ∵ÐRPC=45°

    ÐR=45°=ÐRPC

    PC=RC                                                 1分

    ∵BP=x

    PC=7－x                                               2分

    ∵AD∥BC

   

    QD=RD=RC－DC=7－x－4=3－x                      3分

    AQ=AD－QD=7－(3－x)=4＋x                         4分

   

    y=4x＋8                                               5分

    当Q与D重合时，PC=DC=4，BP=3

    ∵P与B不重合，Q与D不重合

    自变量x的取值范围是0<x<3                             6分

七.

  26. 证明：如图：

    连结FB                                                 1分

    ∵CD过圆心O，且CD⊥AB

    ∴CA=CB                                               2分

    ∴∠CBE=∠F                                           3分

    ∵∠BCE公用

    ∴DCBE∽DCFB                                          4分

                                                5分

                                           6分

八.

  27. 解：(1)当k=0时，方程(1)化为－x－1=0，x=－1，方程有整数根      1分

    当k≠0时，方程(1)可化为(x＋1)(kx＋k－1)=0

    解得

    ∵方程(1)的根是整数，所以k为整数的倒数。

    ∴k是整数

                   3分

   

    ∴k=1舍去

    ∴k=0，k=－1                                              4分

    (2)当k=0时，方程(2)化为

    ∵方程(2)有两个实数根

   

             6分

    ，方程有两个实数根

   

              7分

九.

  28. 如图：

    解法一：连结OE，DF

    ∵E是DF的中点，BD是⊙O的直径

    ∴OE⊥DF，∠DFB=90°

    则可有OE∥BF                                      1分

    ∴AE：EF=AO：OB，且AE：AF=OE：BF

    又∵AE：EF=3：1

    ∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4

    设OB=r，则AO=3r，                        2分

    ∴AD=2r

    ∵AE·AF=AD·AB

    ∴3EF·4EF=2r·4r

                                            3分

    ∵∠ABC=90°(即AB^BC)，DB是⊙O的直径

    BC是⊙O的切线

   

    在RtDABC中，由勾股定理，得

   

                                6分

   

                                                7分

                                                   8分

   

                                                9分

    （说明：只求出ÐCBF的正弦值给4分）

    解法二：如图：

    连结DE、OE、EB

    由解法一，有

    ∵DB是直径

    ∴∠DEB=90°

    在RtDDEB中，由勾股定理，有

   

                                     4分

    ∵∠CBF=∠CEB，且∠C公用

    ∴DCFB∽DCBE

   

                           7分

   

   

    过F点作FG∥AB，交CB于G

   

    在RtDFGB中，由正弦定义，有

   

                                            9分

十.

  29. 解法一：(1)∵的图象与x轴只有一个交点

    ∴一元二次方程＝0有两个相等的实数根

                                          1分

   

   

    由AB=2，得A与B不重合，又a>0

    ∴c>0

    ∴ac=1         (1)

                              2分

    ∴二次函数与x轴，y轴交点坐标为

    在RtDABO中，

   

    把(1)代入(2)，解得

    把                                   4分

    二次函数解析式为

    (2)当b<0时，由二次函数的解析式

       6分

   

    直线与二次函数图象交点C的坐标为                  8分

    过C点作CF^x轴，垂足为F，可推得

    AB=AC，ÐBAC=90°(如图所示)                                  9分

    在CF上截取CM=BD，连结EM、AM，则

   

    可证DABD≌DACM

    从而可证DDAE≌DMAE                                     10分

    ∴∠1=∠2，∠DAE=∠EAM

    ∴∠DAM=∠BAC=90°

    ∴∠DAE=45°                                               11分

    解法二：(1)∵的图象与x轴只有一个交点

    ∴一元二次方程＝0有两个相等的实数根

                                              1分

   

    ∴b=±2ac

    ∴

      解得b=2,b=0；b=－2，b=0

    ∵b=0时，A与B两点重合

    ∴b=0舍去                                                  2分

    以下同解法一。